Wir haben in der PC1 Vorlesung Kurvenintegrale von Differentialen kennengelernt.
Beispiel:
$$ \delta z\quad =\quad (x²y)dx\quad +\quad (xy²)dy $$
von (1,1) nach (2,3)
Der Weg war Linear von z0 nach z1, also
y(x)=2x-1
dy=2
1. Frage:
Ist das dy nur die Ableitung von y oder die absolute Änderung von y0 nach y1?
2. Frage:
Das gegebene Differential ist kein totales Differential, also ist es nicht gleich, wenn man verschiedene Wege brechnet, aber wie hängt dieses Differential denn zusammen mit einer Funktion? Denn wenn ich mir eine Funktion überlege und daran Kurvenintegrale berechnen will, dann bilde ich das totale Differential, was immer 0 als Wert bekommt. Ich verstehe den Zusammenhang nicht ganz zwischen den Differentialen und den Funktionen zur Berechnung von Wegintegralen.
3. Frage:
Ich möchte einen Weg "niedigester Arbeit bzw Energie" beschreiten:
$$z(x,y)\quad =\quad x²\quad +3\quad y²\quad -\quad \cfrac { 7 }{ 2 } xy$$
von (0,0) nach (3,3)
Ich wollte den Weg mit dem niedrigsten Wert, also habe ich die Tiefpunkte in Abhängigkeit der anderen Variablen geschrieben:
$$\cfrac { \partial z }{ \partial y } =6y-\cfrac { 7 }{ 2 } \quad \Rightarrow \quad y(x)=\cfrac { 7 }{ 12 } x$$
und in mein Integral eingesetzt:
$$\Delta z=\int _{ 0 }^{ 3 }{ (x²+3(\cfrac { 7 }{ 12 } x)²-\cfrac { 7 }{ 2 } x*\cfrac { 7 }{ 12 } x)dx+\int _{ \cfrac { 21 }{ 12 } }^{ 3 }{ (9+3y²-\cfrac { 7 }{ 2 } *3y)dy\quad =\quad -\cfrac { 3 }{ 16 } +\cfrac { 55 }{ 32 } =\cfrac { 49 }{ 32 } \approx 1,53 } } $$
Aber ich habe Wegen gefunden, bei denen sogar -15,1875 rauskommen, wie kann das sein?
Frage 4:
Wenn ich ganz vereinfacht die Funktion z(x,y) = 1 nehme und von (0,0) nach (3,3) den Pfad direkt integriere, wieso ist der Wert 3 und nicht 3*√2 ?
Wie bekomme ich die √2 in mein Ergebnis, schließlich sollte das nach Pythagoras herauskommen.