Für eine Funktion a ∈ C0 (ℝ) (=aus dem Raum aller stetigen Funktionen) wird die Differentialgleichung f' = af auf ℝ durch die Funktion f mit$$ f(x)\quad =\quad c\quad exp\left( \int _{ 0 }^{ x }{ a(\tau )\quad d\tau } \right) $$gelöst, wobei c ∈ ℝ eine Konstante ist (im Falle eines vorgeschriebenen Anfangswerts f(0) ist c = f(0). Sei weiters b ∈ C0(ℝ) eine Funktion. Für die Lösung der inhomogenen Gleichung f' = af + b auf ℝ verwendet man die Technik der Variation der Konstanten, i.e. man lässt die Konstante c abhängig von x variieren und schreibt daher c(x) statt c. Im Folgenden soll der Ansatz$$ f(x)\quad =\quad c\left( x \right) \quad exp\left( \int _{ 0 }^{ x }{ a(\tau )\quad d\tau } \right) \quad (*) $$benützt werden.
(i) Differenzieren Sie die Funktion f aus (*), setzen Sie das Ergebnis gleich af+b und erhalten Sie so eine Gleichung für c'
(ii) Integrieren Sie die auf voranstehende Weise gefundene Gleichung für c' um eine Bedingung für c zu bekommen.
(iii) Setzen Sie das Resultat für c in (*) ein, um die Lösung f der inhomogenen Gleichung zu bestimmen.