Brauche Hilfe bei dieser Aufgabe
Zeigen Sie, dass ℂ ein ℝ-Vektorraum ist
Soweit bin ich gekommen:
Bevor ich nachweisen kann, dass es sich hierbei um einen Vektorraum handelt, muss ich anscheinend erst den Gruppennachweis bringen
Vektoraddition ⊕ V x V -> V = {(v1, v2) | v1, v2 ∈ V} (v1, v2) -> v1⊕v2
Skalare Multiplikation ⊗ K x V -> = {(k, v) | k ∈ K, v ∈ V} (k,v) k ⊗ v
Gruppennachweis:
Assoziativität von ⊕ v1⊕(v2⊕v3)=(v1⊕v2)⊕v3
Neutrales Element von ⊕ v⊕e=e⊕v=v
Inverses Element von ⊕ v⊕v-1=v-1⊕v=e
Kommutativität von ⊕ v1⊕v2 = v2⊕v1
Damit wäre nachgewiesen, dass es eine abelsche Gruppe ist
Für den Vektorraum-Nachweis muss anscheinend noch folgendes geschehen:
Neutralität von e∈K e⊗v = v
Assoziativität von ⊗ mit * (k1*k2)⊗v = k1⊗(k2⊗v)
Distributivität ⊗ mit + (k1+k2) ⊗ v = (k1⊗v) ⊕ (k2⊗v)
Distributivität ⊗ mit ⊕ k⊗(v1+v2) = (k1⊗v) ⊕ (k2⊗v)
Damit ist es ein Vektorraum, aber anscheinend reicht das noch nicht um zu beweisen, dass es auch ein ℝ-Vektorraum ist...wie verfahre ich weiter?
Zeigen Sie, dass ℂ ein ℝ-Vektorraum ist
Soweit bin ich gekommen:
Bevor ich nachweisen kann, dass es sich hierbei um einen Vektorraum handelt, muss ich anscheinend erst den Gruppennachweis bringen
Vektoraddition ⊕ V x V -> V = {(v1, v2) | v1, v2 ∈ V} (v1, v2) -> v1⊕v2
Skalare Multiplikation ⊗ K x V -> = {(k, v) | k ∈ K, v ∈ V} (k,v) k ⊗ v
Gruppennachweis:
Assoziativität von ⊕ v1⊕(v2⊕v3)=(v1⊕v2)⊕v3
Neutrales Element von ⊕ v⊕e=e⊕v=v
Inverses Element von ⊕ v⊕v-1=v-1⊕v=e
Kommutativität von ⊕ v1⊕v2 = v2⊕v1
Damit wäre nachgewiesen, dass es eine abelsche Gruppe ist
Für den Vektorraum-Nachweis muss anscheinend noch folgendes geschehen:
Neutralität von e∈K e⊗v = v
Assoziativität von ⊗ mit * (k1*k2)⊗v = k1⊗(k2⊗v)
Distributivität ⊗ mit + (k1+k2) ⊗ v = (k1⊗v) ⊕ (k2⊗v)
Distributivität ⊗ mit ⊕ k⊗(v1+v2) = (k1⊗v) ⊕ (k2⊗v)
Damit ist es ein Vektorraum, aber anscheinend reicht das noch nicht um zu beweisen, dass es auch ein ℝ-Vektorraum ist...wie verfahre ich weiter?