Zeige, dass der Index einer nilpotenten n x n-Matrix höchstens n sein kann.

Eine Matrix A heißt nilpotent, wenn es ein k gibt sodass A^k = 0 . Das kleinste solche k heißt Index der Nilpotenz von A.

a) Zeige, dass der Index einer nilpotenten n x n-Matrix höchstens n sein kann.

b) Zeige, dass nilpotente Matrizen nicht diagonalisierbar sind (ausgenommen 0-Matrix).

c) Zeige, dass 0 der einzige Eigenwert einer nilpotenten Matrix ist.

Unser Beweis zu a (mit Bitte um Feedback): 

Wir wissen aus VO (Lemma von Fitting) : 

(i) ∃ m≤n sodass ker(A^m) = ker(A^m+1)

(ii) ker(A) ⊆ ker(A²) ⊆ ... ⊆ ker(Aⁿ)

⇒ ker(A) ⊆ ...... ⊆ ker(A^m) = ker(A^m+1) = ... = ker(Aⁿ)

      ⇒k muss gleich m sein, d.h. k = m≤ n

Für die Punkte b), c) aber auch zu a) würden wir uns über jegliche Unterstützung freuen.

Glg