Zeigen Sie, dass es in V eine Orthonormalbasis gibt, sodass die Vektoren sowohl Eigenvektoren von Φ als auch von Ψ sind.

Hallo zusammen, eine letzte Aufgabe dann habt ihr erstmal Ruhe von mir ;)

Also gegeben ist seien ein n-dimensionaler euklidischer Vektorruam V und Φ, ψ ∈ End(V) selbstadjungierte Abbildungen mit: Φ ◦ Ψ = Ψ ◦ Φ.

a) Zeigen Sie, dass es in V eine Orthonormalbasis (x₁, . . . , x_n) gibt, sodass die Vektoren x₁, . . . , x_n sowohl Eigenvektoren von Φ als auch von Ψ sind. 

b) Gewinnen Sie aus a) eine Aussage über symmetrische Matrizen A, B ∈ R^nxn .