Sei \(f:M_2(\mathbb{K})\rightarrow M_2(\mathbb{K})\) definiert durch
.
Bestimme ob f diagonalisierbar ist für jeden Körper \(\mathbb{K}\in\) { \( \mathbb{C},\mathbb{R}\),\(\frac { \mathbb{Z} }{ 2\mathbb{Z} }\)}.
Zuerst stimmt die Äquivalenz f diagonalisierbar genau dann wenn A diagonalisierbar?
Ich habe mal das charakteristische Polynom ausgerechnet und bekam:
\(\lambda^2+(a-d)\lambda+(cb-ad)\)
und das muss ich ja jetzt Null setzen und schauen, was für Eigenwerte rauskommen, bzw über welchem Körper sie definiert sind und dann mit anderen Argumenten zeigen, ob A diagonalisierbar ist. Bin ich so auf dem richtigen Weg?
Kann mir jemand helfen, die Eigenwerte zu bestimmen?