Ich habe wieder mal Probleme mit einer Aufgabe aus Lineare Algebra. Mit Rechnen-Aufgaben geht die Lösung meist geradlinig, aber diese Beweis-Aufgaben verwirren mich sehr.
Die Frage lautet:
Simultan Diagonalisieren
Es seien V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und Φ,Ψ∈End(V) selbstadjungierte Abbildungen mit Φ∘Ψ=Ψ∘Φ .
a) Zeigen Sie, dass es in V eine Orthonormalbasis (x1,...,xn) gibt, sodass die Vektoren x1,...,xn sowohl Eigenvektoren von Φ als auch von Ψ sind.
b) Gewinnen Sie aus a) eine Aussage über symmetrische Matrizen A, B ∈ℝn×n.
Ich weiß aus Vorlesungen, dass f und g simultan diagonalisierbar sind, wenn eine Basis B = (b1, . . . , bn) von V existiert so dass alle bi Eigenvektoren sowohl von f als auch von g sind.
Außerdem habe ich keine Idee, wie man vorgehen sollte.
Vielen Dank im Voraus :)
Die Frage lautet:
Simultan Diagonalisieren
Es seien V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und Φ,Ψ∈End(V) selbstadjungierte Abbildungen mit Φ∘Ψ=Ψ∘Φ .
a) Zeigen Sie, dass es in V eine Orthonormalbasis (x1,...,xn) gibt, sodass die Vektoren x1,...,xn sowohl Eigenvektoren von Φ als auch von Ψ sind.
b) Gewinnen Sie aus a) eine Aussage über symmetrische Matrizen A, B ∈ℝn×n.
Ich weiß aus Vorlesungen, dass f und g simultan diagonalisierbar sind, wenn eine Basis B = (b1, . . . , bn) von V existiert so dass alle bi Eigenvektoren sowohl von f als auch von g sind.
Außerdem habe ich keine Idee, wie man vorgehen sollte.
Vielen Dank im Voraus :)