sei f : X → Y eine Abbildung zwischen den nichtleeren Mengen.

 Die Abbildung f ist genau dann surjektiv, wenn eine Abbildung h2 : Y → X existiert mit f ◦ h2 = idY.


 
erst einmal zur definition von surjektiv ... 

zu jedem $$ y\quad \epsilon \quad f\left( x \right)$$ gibt es MINDESTENS ein $$ x\quad \epsilon \quad X $$ mit $$ y=f\left( x \right)$$

jetzt konstruiere ich eine Abbildung h2 von Y nach X wie folgt : 

$${ h }_{ 2 }(y)=\left\{ x,falls\quad y=f(x) \right\} $$ , ansonsten ist es $${ x }_{ 0 }\quad wenn\quad y\neq \quad f(x)$$

wenn ich nun folgende abbildung konstruiere : 

$${ (h }_{ 2 }\circ f)(x)=({ h }_{ 2 }\circ f(x))={ id }_{ y }$$ ist das denke ich mal korrekt meine frage bin ich jetzt fertig habe ich alles gezeigt ?? 

weil beim beispiel der injektivität müsste ich ja jetzt noch zeigen das es genau ein x gibt welches diese bedingung erfüllt ... 



und dann auch schon direkt zu meiner nächsten frage ... 
wie gehe ich vor wenn ich nun eine bijektive abbildung konstruieren muss in dieser gilt : 

$$h\circ f={ id }_{ x }\quad und\quad h\circ f={ id }_{ y }\quad \quad was\quad daraus\quad folgt\quad das\quad h={ h }_{ 1 }={ h }_{ 2 }$$