Die Parsevalsche Identität besagt, dass für eine stetige Funktion
$$f:[-\pi,\pi] \rightarrow \mathbb{R}$$ gilt:
$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} |c_k|^2=\frac{1}{2*\pi} \int_{-\pi}^ {\pi}|f(x)|^2dx$$ wobei:
$$c_k =\frac{1}{2*\pi} \int_{-\pi}^ {\pi}f(x)e^{-ikx}dx$$
sei \(g:[0,\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) gegeben durch
$$g(x):= 1/2 -\sin(x/2)$$ für \(x\in[o,\pi]\)
Wir definieren nun \(f:[-\pi,\pi] \rightarrow\mathbb{R}\) durch die gerade Fortsetzung von g auf \([-\pi,\pi], d.h. wir setzen:
f(x)= g(x) für x\(\in [0,\pi]\)
= g(-x) für x\(\in [-\pi,0]\)
Benutze die Parsevalsche Identität, um den numerischen Wert der Reihe
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(4n^2-1)^2}$$
zu bestimmen