Hallo,
ich soll zeigen, dass die Funktion
f(x,y) = (cos x , sin y)
im Intervall ( 0 , 2PI ) bijektiv ist.
1. injektiv: Da der Sinus in diesem Intervall injektiv ist, ist es die gesamte Funktion. ( cos nimmt zwei mal den Wert 0 an, aber da dann jeweils ein anderer Wert in der y-Koordinate angenommen wird, ist das nicht weiter schlimm)
2. surjektiv: Sinus bildet nach [0,1] und Cosinus bildet in das Intervall [ 0 , 1) ab. Das in Kombination ergibt S^1 \ (1,0) als Wertemenge.
=> bijektiv
Desweiteren möchte ich nun zeigen, dass die Umkehrfunktion auf diesem Intervall auch stetig ist.
Kurze Frage vorweg: Warum ist die Umkehrfunktion nicht einfach (arccos x , arcsin y) ?
Ich leite einmal ab und bilde die Jacobimatrix:
-sin x 0
0 cos y
Mithilfe der Determinanten : Invertierbar wenn sin x und cos y ungleich 0 sind
=> nicht invertierbar für y= 1/2 Pi und y= 3/2 Pi
=> Auf jeden Fall stetig bis auf die beiden Ausnahmen für die y Werte. Ich schließe so aber nicht aus, dass sie auch dort stetig ist. Wie kann ich zeigen, dass die Umkehrfunktion dort stetig ist?